Question

15．（Ⅰ）设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．　证明：|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|＜$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）若函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，关于x的不等式f（x）-log₂（a²-3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令h（x）=|x-1|-|x+2|，通过讨论x的范围求出M，从而证明不等式即可；
（Ⅱ）问题转化为|2x+1|+|2x-3|＞${log}_{2}^{{（a}^{2}-3a）}$+2，求出|2x+1|+|2x-3|的最小值，解出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）记h（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤-2}\\{-2x-1，-2＜x＜1}\\{-3，x≥1}\end{array}\right.$，
由-2＜-2x-1＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
则M={x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
所以|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|≤$\frac{1}{3}$|a|+$\frac{1}{6}$|b|＜$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）不等式f（x）-${log}_{2}^{{（a}^{2}-3a）}$＞2
等价于|2x+1|+|2x-3|＞${log}_{2}^{{（a}^{2}-3a）}$+2，
|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-2x+3|=4，
于是4＞${log}_{2}^{{（a}^{2}-3a）}$+2，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-3a＞0}\\{{a}^{2}-3a＜4}\end{array}\right.$，
∴-1＜a＜0或3＜a＜4．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查对数函数的性质，是一道中档题．