Question

4．若x∈[$\frac{1}{a}$，b]（a＞0），求y=$\sqrt{\frac{（1+ab）x-b}{x}}$的最小值．

Answer 1

分析 将函数化为y=$\sqrt{1+ab-\frac{b}{x}}$，运用函数t=1+ab-$\frac{b}{x}$为递增函数，结合复合函数的单调性：同增异减，即可得到最小值．

解答 解：函数y=$\sqrt{\frac{（1+ab）x-b}{x}}$
=$\sqrt{1+ab-\frac{b}{x}}$，
由a＞0，可得b＞0，
由函数t=1+ab-$\frac{b}{x}$为递增函数，
函数y=$\sqrt{1+ab-\frac{b}{x}}$为[$\frac{1}{a}$，b]的增函数，
即有x=$\frac{1}{a}$处取得最小值，且为$\sqrt{1+ab-ab}$=1．

点评 本题考查复合函数的最值的求法，注意运用同增异减，属于中档题．