Question

13．设全集U=R，A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8＞0}，C={x|x²-4x+3a²＜0}，
（1）求全集A，B，C；
（2）试求实数a的取值范围，使C⊆A∩B；
（3）试求实数a的取值范围，使C?∁_UA∩∁_UB．

Answer 1

分析 （1）分别求出x²-x-6＜0和x²+2x-8＞0的解集，即求出集合A、B，再分类讨论求出集合C；
（2）根据交集，求出A∩B，分类讨论即可求出a的范围；
（3）由补集的运算求出∁_UA∩∁_UB），分类讨论即可求出a的范围．

解答 解：（1）由不等式的解法，全集U=R，A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8＞0}，
∴A={x|x²-x-6＜0}=（-2，3），B={x|x²+2x-8＞0}=（-∞，-4）∪（2，+∞），
对于C，当△=16-12a²≤0时，即a≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或a≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，C=∅，
当△=16-12a²＞0时，即-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，解得2-2$\sqrt{4-3a}$＜x＜2+2$\sqrt{4-3a}$，
∴C=（2-2$\sqrt{4-3a}$，2+$\sqrt{4-3a}$），
（2）∵A∩B=（2，3），C⊆A∩B，C={x|x²-4x+3a²＜0}，
 当C=∅时，满足C⊆A∩B，
当C≠∅时，$\left\{\begin{array}{l}{2-2\sqrt{4-3a}≥2}\\{2+2\sqrt{4-3a}≤3}\end{array}\right.$，解得a=∅，
∴a的取值范围为：a≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或a≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（3）∵∁_UA∩∁_UB=（-∞，-2]∪[3，+∞）∩[-4，2]=[-4，-2]，
∴当C=∅时，满足C?∁_UA∩∁_UB，
当C≠∅时，$\left\{\begin{array}{l}{2-2\sqrt{4-3a}≤-4}\\{2+2\sqrt{4-3a}≤-2}\end{array}\right.$，解得a=∅，
∴a的取值范围为：a≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或a≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了交、并、补集的混合运算，利用集合之间的关系、分类讨论思想求参数的范围，以及一元二不等式的解法．