Question

4．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距$\sqrt{3}$km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的$\sqrt{5}$倍，问施工单位应该准备多长的电线？

Answer 1

分析 在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ABC中利用余弦定理求出AB．

解答 解：在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=75°+45°=120°，
∴∠CAD=30°，∴AC=CD=$\sqrt{3}$，
在△BCD中，∵∠BDC=30°+45°=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，
由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BDC}=\frac{CD}{sin∠CBD}$，
∴BC=$\frac{CD•sin∠BDC}{sin∠CBD}$=$\frac{\sqrt{3}•sin75°}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB
=3+（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$）²-2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=5，
∴AB=$\sqrt{5}$．
故施工单位应该准备电线长为$\sqrt{5}$$•\sqrt{5}$=5km．

点评 本题考查了正余弦定理，解三角形的应用，属于中档题．