Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，M是AA₁上的一点，AA₁=4，A₁M=1．P是棱BC上的一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短距离为3

2

．设此最短距离的折线与CC₁交于点N．
（1）求证：A₁B∥平面MNP；
（2）求平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由AA₁⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，知侧面均为全等的矩形，将侧面旋转120°，使其与侧面ACC₁A₁在同一个平面上，点P运动到P₁位置，联结MP₁，设A₁C与MN交于点Q，则A₁B∥PQ，由此能证明A₁B∥平面MNP．
（2）连接PP₁，则PP₁为平面MNP与平面ABC的交线．作MH⊥PP₁于点H，连接CH，则∠NHC即为平面ABC与平面MNP所成二面角的平面角，由此能求出平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值．

解答： （1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面均为全等的矩形．
如图所示，将侧面旋转120°，使其与侧面ACC₁A₁在同一个平面上．
在同一个平面内，点P运动到P₁位置，联结MP₁，
则MP₁即为点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路径．…（3分）
设PC=x，则P₁C=x，在Rt△MAP₁，
注意到（2+x）²+x²=18，得x=1．
故P为BC的中点，于是NC=1．
设A₁C与MN交于点Q，则Q为A₁C的中点，
所以A₁B∥PQ，所以A₁B∥平面MNP．…（6分）
（2）解：如图，连接PP₁，
则PP₁即为平面MNP与平面ABC的交线．
作MH⊥PP₁于点H，连接CH．
又因为CC₁⊥平面ABC，从而CH⊥PP₁．
故∠NHC即为平面ABC与平面MNP所成二面角的平面角．…（10分）
在Rt△PHC中，由∠PCH=

1

2

∠PCP1=60°，则CH=

1

2

．
在Rt△NHC中，tan∠NHC=

NC

CH

=2．
故平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为2．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，涉及到线线、线面、面面的平行与垂直的性质，考查旋转问题的应用，是中档题．