Question

如图：将圆柱的侧面沿母线AA₁展开，得到一个长为2π，宽AA₁为2的矩形．
（1）求此圆柱的体积；
（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A₁，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用将圆柱的侧面沿母线AA₁展开，得到一个长为2π，宽AA₁为2的矩形，求出圆柱的底面半径、高，再求出此圆柱的体积；
（2）设AA₁中点为B，侧面展开图矩形为ACC₁A₁，CC₁中点为B₁．则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB₁+BC₁．

解答： 解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr=2π，h=2，
∴r=1，h=2，---------（2分）
∴V=πr²h=2π--------（5分）
（2）设AA₁中点为B，侧面展开图矩形为ACC₁A₁，CC₁中点为B₁．则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB₁+BC₁．-------（7分）
AB₁=BC₁=

4π2+1

．-------（10分）
∴绳长的最小值为2

4π2+1

．-------（12分）

点评：本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．