题目内容

已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(1，
3
)
（1）若
a
∥
b
，求tan x；
（2）若f(x)=
a
•(
a
+
b
)，求f（x）的最大值．
分析：（1）利用两个向量共线的性质可得
3
sinx-cosx=0，由此求得tan x的值．
（2）由于 f(x)=
a
•(
a
+
b
)，利用两个向量的数量积公式、两角和差的正弦公式化简函数的解析式为1+2sin(x+
π
3
)，由此求得函数的最大值．
解答：解：（1）∵
a
=(sinx，cosx)，
b
=(1，
3
)，
a
∥
b
，
∴
3
sinx-cosx=0，…（3分）∴tanx=
1
3
=
3
3
．…（6分）
（2）∵f(x)=
a
•(
a
+
b
)=(
a
)2+
a
•
b
 …（7分）
=1+sinx+
3
cosx…（8分）
=1+2(
1
2
sinx+
3
2
cosx)=1+2sin(x+
π
3
)，…（10分）
∴当sin(x+
π
3
)=1时，f（x）有最大值3．  …（12分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，正弦函数的值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(sinx，1)，
b
=(2cosx，2+cos2x)，函数f（x）=
a
•
b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合．
已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，设函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-
π
6
，
5π
12
]时，求f（x）的值域．
已知
a
=(sinx，-cosx)，
b
=(cosx，
3
cosx)，函数f(x)=
a
•
b
+
3
2
．
（1）求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
（2）当0≤x≤
π
2
时，求函数f（x）的值域．
（2012•芜湖二模）已知
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)，函数f(x)=
a
•(
a
-
b
)，那么下列四个命题中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π．
②当x=
π
8
时，f（x）有最小值2-
2
2
．
③[-
7
8
π，-
3
8
π]是函数f（x）的一个单调递增区间；
④点（-
π
8
，2）是函数f（x）的一个对称中心．
已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，设函数f(x)=
a
•
b
（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-
π
6
，
5π
12
]时，求f（x）的最值并指出此时相应的x的值．

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