Question

12．函数f（x）=2x-x$\sqrt{4-{x}^{2}}$的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 易知当-2≤x≤0时，f（x）≤0，当0≤x≤2时，f（x）≥0；从而简化为f（x）的最大值在[0，2]上取得；再讨论函数的单调性，从而求得．

解答 解：f（x）=2x-x$\sqrt{4-{x}^{2}}$=x（2-$\sqrt{4-{x}^{2}}$），
f（x）的定义域为[-2，2]，
当-2≤x≤0时，f（x）≤0，当0≤x≤2时，f（x）≥0；
故f（x）的最大值在[0，2]上取得；
y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$在[0，2]上是减函数，
故y=2-$\sqrt{4-{x}^{2}}$在[0，2]上是增函数，
且2-$\sqrt{4-{x}^{2}}$≥0，
而y=x在[0，2]上是增函数且x≥0，
故f（x）在[0，2]上是增函数，
故f_max（x）=f（2）=4，
故选A．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想及转化思想的应用．