Question

【题目】已知函数 ．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；

（3）当时，若的解集为 ，且 中有且仅有一个整数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）极大值，极小值（2）（3）

【解析】

（1）把代入函数解析式，求导，由导数的符号确定函数的单调区间，从而求得函数的极值；

（2）当时，有唯一解，与题意不符，舍去；当时，求出导函数的零点或，结合，可得，由此求得的值；

（3）把的解集记为，且中有且仅有一个整数，可转化为的解集中仅有一个整数，利用导数研究函数，最后求得结果.

（1）当时，，

，，

令，解得或，令，解得，

所以函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，

所以函数的极大值，极小值；

（2）法一：，令，得或

因为函数有两个不同的零点，所以或

当时，得，不合题意，舍去；

当时，代入得

即，所以

法二：由于，所以，

由，得

设，，令，得，

当时，，递减；当时，，递增.

当时，，单调递增，

当时，的值域为.

故不论取何值，方程有且仅有一个根；

当时，，

所以时，方程恰有一个根-2，

此时函数恰有两个零点-2和1

（3）当时，因为，所以，

设，则

当时，因为，所以在上递增，且

所以在上，，不合题意；

当时，令，得

所以在递增，在递减，

所以

要使有解，首先要满足，解得①

又因为，

要使的解集中只有一个整数，则

即，解得②

设，则

当时，，递增；当时，，递减，

所以，所以，

所以由①和②得：.