Question

【题目】已知椭圆的一个焦点 ，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过焦点作 轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦，设弦 所在的直线分别交轴于、两点，若为等腰三角形时，问直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线斜率为定值，该定值为.

【解析】

（1）根据题意，分析可得的值，进而分析可得，由椭圆的几何性质分析可得的值，代入椭圆的方程即可得答案；

（2）根据题意，设出直线方程，设，，将直线的方程与椭圆联立，分析可得，由根与系数的关系分析可得答案．

（1）由题意可知椭圆的半焦距，由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得 ，又，解得 ，

所以椭圆的标准方程为．

（2）易知.因为直线的倾斜角互补，所以直线的斜率与的斜率互为相反数．

可设直线的方程为，代入，消去得 ．

设， ，

所以，可得，，

又直线的斜率与的斜率互为相反数，

所以在上式中以代替，可得，，

所以直线的斜率，

即直线斜率为定值，该定值为．