Question

2．若函数f（x）=x²+x+alnx在（1，3）内有极值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-7，-3）
• B． [-21，-3]
• C． [-7，-3]
• D． （-21，-3）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为g（x）=2x²+x+a在（1，3）有根，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：函数f（x）=x²+x+alnx在区间（1，3）内有极值
?函数f′（x）=0在区间（1，3）内有实数根，
f′（x）=2x+1+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+x+a}{x}$，
即g（x）=2x²+x+a在（1，3）有根，
∵g（x）的对称轴x=-$\frac{1}{4}$，开口向上，
∴g（x）在（1，3）递增，
故只需$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（3）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3+a＜0}\\{21+a＞0}\end{array}\right.$，
解得：-21＜a＜-3，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．