Question

如图，已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁与底面垂直，且AB＝AC，CC₁＝BC₁，∠BAC＝90°，∠BCC₁＝60°．

(Ⅰ)求证：BC₁⊥AC；

(Ⅱ)若N为A₁C₁的中点，问侧棱BB₁上是否存在一点M，使MN∥平面ABC₁成立，并说明理由；

(Ⅲ)求二面角B₁－BC₁－A的大小(用反三角函数表示)

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)由题意侧面底面，且

　　平面，

　　，且，为等边三角形，

　　，，

　　又，

　　∵平面，∴在平面上的射影为，

　　∴．　　4分;

　　(Ⅱ)当为侧棱的中点时，有平面成立，证明如下：

　　分别取中点，连接，则．

　　∴平面，平面，∴平面平面，

　　∴平面．　　8分;

　　(Ⅲ)取的中点，连接，则有，

　　∴为二面角的平面角，　　10分

　　在中，

　　

　　∴．　　12分

　　∴二面角的大小为．

　　∴二面角的大小为．　　14分