题目内容

如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,侧棱与底面所成的角为
π3
,顶点B1在底面ABC上的射影D在AB上.
(1)求证:侧面ABB1A1⊥底面ABC;
(2)证明:B1C⊥AB;
(3)求二面角B1-BC-A的正切值.
分析:(1)由题意得B1D⊥平面ABC,利用面面垂直判定定理即可证出平面ABB1A1⊥平面ABC;
(2)连结CD,根据直线与平面所成角的定义得出B1BD=
π
3
,Rt△B1BD中算出BD=1,可得D为AB中点,因此在等边△ABC中得到CD⊥AB,结合AB⊥B1D得AB⊥平面B1DC,从而证出B1C⊥AB;
(3)作DE⊥BC于E,连B1E.根据三垂线定理证出B1E⊥BC,即∠B1ED为二面角B1-BC-A的平面角.在Rt△B1DE中,利用解直角三角形算出tan∠B1ED=2,即得二面角B1-BC-A的正切值.
解答:解:(1)根据题意,可得
∵顶点B1在底面ABC上的射影D在AB上,
∴B1D⊥平面ABC,
∵B1D?平面ABB1A1,∴平面ABB1A1⊥平面ABC;
(2)连结CD,
∵B1D⊥平面ABC,
∴∠B1BD就是侧棱与底面所成的角为
π
3
,可得B1BD=
π
3

∴Rt△B1BD中,BD=B1Dcos
π
3
=1
,可得D为AB中点.
∴等边△ABC中,可得CD⊥AB.
又∵AB⊥B1D,CD∩B1D=D,∴AB⊥平面B1DC,
∵B1C?平面B1DC,∴AB⊥B1C,即B1C⊥AB;
(3)作DE⊥BC于E,连B1E.
∵B1D⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴B1E⊥BC,可得∠B1ED为二面角B1-BC-A的平面角
∵在Rt△B1DE中,ED=
3
2
B1D=
3

tan∠B1ED=
B1D
ED
=2
,即二面角B1-BC-A的正切值为2.
点评:本题给出特殊的三棱柱,求证面面垂直、线线垂直,并求二面角的正切值.着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明、二面角定义及其求法等知识,属于中档题.
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