Question

11．已知函数f（x）=ax³+3x²+1若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出f（x）的极值点，对a进行讨论，判断f（x）的单调性和极值，得出f（x）的零点的个数及范围即可得出a的范围．

解答 解：f′（x）=3ax²+6x，
（1）若a=0，则f（x）=3x²+1≥1，∴f（x）没有零点，不符合题意；
（2）若a≠0，令f′（x）=0得x=0或x=-$\frac{2}{a}$．
①若a＞0，则当x＜-$\frac{2}{a}$或x＞0时，f′（x）＞0，当-$\frac{2}{a}＜x＜0$时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）上是增函数，在（-$\frac{2}{a}$，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取得极小值1，∴f（x）在（0，+∞）上没有零点，不符合题意；
②若a＜0，则当x＜0或x＞-$\frac{2}{a}$时，f′（x）＜0，当0＜x＜-$\frac{2}{a}$时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，-$\frac{2}{a}$）上是增函数，在（-$\frac{2}{a}$，+∞）上是减函数，
∴当x=0时，f（x）取得极小值1，当x=-$\frac{2}{a}$时，f（x）取得极大值，
∴f（x）在（-∞，0）上没有零点，在（0，+∞）上有1个零点，符合题意．
∴a的取值范围是（-∞，0）．

点评 本题考查了函数的单调性，函数极值与函数零点的个数判断，属于中档题．