Question

19．平面内的n（n≥3）条直线，可将平面最多分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（　　）

• A． n+3
• B． 2n+1
• C． n²-3n+7
• D． $\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多，确定f（n）-f（n-1）=n，累加，即可求得f（n）的表达式．

解答 解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多
设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，
∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）-f（k）=k+1，
令k=1，2，3，…．n得 f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n，
把这n-1个等式累加，得 f（n）-f（1）=2+3+…+n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$，
∴f（n）=2+$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查合情推理，考查了分析问题和解决问题的能力，解题的关键是找出第k项和第k+1项之间的关系，再利用累加法求出f（n）的关系式．