Question

如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，，是的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求证：∥平面．

Answer 1

(1)证明见解析；(2)见解析．

试题分析：(1)要证面面垂直，根据判定定理，要证线面垂直，也即要找线线垂直，在这个三棱柱中，已知的或者显而易见的垂直是我们首先要考虑的，如是底面等腰三角形的底边的中点，则有，又侧面是菱形且，那么在中可求得，即，从而我们可得到，结论得出；(2)要证线面平行，就是要在平面内找一条与待证直线平行的直线，这里我们可以想象一下，把直线平移，平移到过平面时，那么要找的直线就出来了，本题中把直线沿方向平移，当与重合时，要找的直线就有了，因此我们通过连接与相交于，就是我们所需要的平行线．当然解题时注意定理所需的条件一个都不能少．
试题解析：（1）证明：∵为菱形，且，
∴△为正三角形．       2分
是的中点，∴．
∵，是的中点，∴．       4分
，∴平面．       6分
∵平面，∴平面平面．       8分
（2）证明：连结，设，连结．
∵三棱柱的侧面是平行四边形，∴为中点．       10分
在△中，又∵是的中点，∴∥．       12分
∵平面，平面，∴∥平面．       14分