Question

已知函数f（x）=e^x-ax，g（x）=xf（x），设曲线y=g（x）在点（-1，g（-1））处的切线为l（e是
自然对数的底数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，求曲线y=g（x）图象上与l平行的切线l′的方程，并判断l′与曲线y=f（x）是否存在公共点（若存在，请求出公共点的个数，若不存在，请说明理由）．（参考数据：ln2=0.69…，ln3=1.09…）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出g′（-1）=2，由（x+1）e^x-2x=2，可得x=-1或x=ln2，从而可得切线l′的方程；令h（x）=e^x-x-（2x-ln²2）=e^x-3x+ln²2，证明函数在（ln3，+∞）上单调递增，在（-∞，ln3）上单调递减，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
∴a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0，即函数在R上单调递增；
a＞0时，f′（x）＞0，可得x＞lna，函数在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减；
（Ⅱ）当a=1时，g（x）=xf（x）=x（e^x-x），
∴g′（x）=（x+1）e^x-2x，
∴g′（-1）=2，
由（x+1）e^x-2x=2，可得x=-1或x=ln2，
x=ln2时，g（x）=ln2（2-ln2），
∴切线l′的方程为y-ln2（2-ln2）=2（x-ln2），即y=2x-ln²2，
令h（x）=e^x-x-（2x-ln²2）=e^x-3x+ln²2，则h′（x）=e^x-3，
∴函数在（ln3，+∞）上单调递增，在（-∞，ln3）上单调递减，
∴x=ln3时，函数取得最大值h（ln3）=3-3ln3+ln²2＞0，
∴h（x）=0有两解，
∴l′与曲线y=f（x）有两个公共点．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确构造函数，确定函数的单调性是解题的关键．