Question

3．已知数列{a_n}中，满足a_n=3a_n-1+2，a₁=2．
（1）证明{a_n+1}为等比数列．
（2）求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把已知递推式两边加1，可得a_n+1=3（a_n-1+1）（n≥2），结合首项不为0可得a_n+1}为等比数列；
（2）求出（1）中的等比数列的通项公式，可得a_n的通项公式．

解答 （1）证明：由a_n=3a_n-1+2，得
a_n+1=3（a_n-1+1）（n≥2），
∵a₁=2，∴a₁+1≠0，
则$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2（n≥2）$，
故{a_n+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列；
（2）解：∵{a_n+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
则${a}_{n}={3}^{n}-1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．