Question

13．等比数列{a_n}的前n项和S_n为，并且对任意的正整n数成立S_n+2=4S_n+3，则a₂=（　　）

• A． 2
• B． 6
• C． 2或6
• D． 2或-6

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列可得S_n+2=q²S_n+a₁（1+q），比较已知式子可得a₁和q，可得a₂．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列可得S_n+1=qS_n+a₁，
∴S_n+2=q（qS_n+a₁）+a₁=q²S_n+a₁（1+q），
由已知式子S_n+2=4S_n+3比较可得q²=4，a₁（1+q）=3，
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-3}\\{q=-2}\end{array}\right.$，
∴当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$时，a₂=a₁q=2；
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-3}\\{q=-2}\end{array}\right.$时，a₂=a₁q=6．
故选：C

点评 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，得出S_n+2=q²S_n+a₁（1+q）是解决问题的关键，属中档题．