Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，、分别为和的中点，且.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先根据且，且可知四边形为平行四边形，由此，进而得证；

（2）先证明平面，由此可以为坐标原点，射线、分别为轴、轴的正半轴，以平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式得解.

（1）如图，取线段的中点，连接、，

为的中点，且，

又为的中点，且，且，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面；

（2）作于点，由，得，

，即为的中点，

，，，

又，平面，平面，从而有，

又，，平面，

故可以点为坐标原点，射线、分别为轴、轴的正半轴，以平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

令，则、、、、，

，，

设平面的一个法向量为，则，

取，则，，可得，

又平面的一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角为，则，

因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.