Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，过焦点做倾斜角为的120°的直线交于，两点，为坐标原点，．

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线焦点，且与坐标轴不垂直的直线l交抛物线于，两点，，在抛物线上，且，，若，，，四点都在圆上，求圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根据题意设直线方程为，联立方程，利用根与系数关系得，代入面积公式解得，进而求出抛物线的方程；

（2）由（1）可得焦点的坐标，设直线的方程为，联立方程，表示出弦长，得其中点，再由，，可知为线段的中垂线，设其方程为，再联立方程得弦长，再设中点为，再由，，，四点都在圆上，等价于，从而，解方程解即可.

（1）抛物线：的焦点为，

则过焦点倾斜角为120°的直线的方程为，

设，，

联立方程，整理得

所以，，，，

由，解得．

故抛物线方程为．

（2）由题意可设的方程为，代入得．

设，，则，．

故的中点为，．因为

，，故直线为线段的垂直平分线，斜率为，

设其为，则方程为，

将上式代入，并整理得．

设，，则，．

设中点为，故，

．

由于直线为线段的垂直平分线，故，，，四点在同一圆上等价于

，从而，

即，

化简得，解得或．

当时，圆心为，，圆的方程为；

当时，圆心为，，圆的方程为．