题目内容

设锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知边a=2 $数学公式$ ，△ABC的面积S= $数学公式$ （b²+c²-a²）．
求：（1）内角A；
（2）周长l的取值范围．

解：（1）∵S= $\text{[math]}$
又∵b²+c²-a²=2bccosA
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由正弦定理， $\text{[math]}$ 可得b=4sinB，c=4sinC
周长l=a+b+c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ +6sinB $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∵△ABC为锐角三角形
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵0＜ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
分析：（1）由S= $\text{[math]}$ 及余弦定理和三角形的面积公式可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，结合A的范围可求A
（2）由正弦定理可得b=4sinB，c=4sinC，周长l=a+b+c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，结合△ABC为锐角三角形可求B的范围，进而可求sin（B+ $\text{[math]}$ ）的范围，从而可求周长的范围．
点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，辅助角公式的应用，正弦函数的性质的灵活应用是解决本题的关键之一．