题目内容
设锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知边a=2
，△ABC的面积S=
（b2+c2-a2）．
求：（1）内角A；
（2）周长l的取值范围．
| 3 |
| ||
| 4 |
求：（1）内角A；
（2）周长l的取值范围．
分析：（1）由S=
(b2+c2-a2)及余弦定理和三角形的面积公式可得S=
bccosA=
bcsinA，结合A的范围可求A
（2）由正弦定理可得b=4sinB，c=4sinC，周长l=a+b+c=2
+4sinB+4sinC=2
+4sinB+4sin(
-B)=4
sin(B+
)+2
，结合△ABC为锐角三角形可求B的范围，进而可求sin（B+
）的范围，从而可求周长的范围．
| ||
| 4 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）由正弦定理可得b=4sinB，c=4sinC，周长l=a+b+c=2
| 3 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）∵S=
(b2+c2-a2)
又∵b2+c2-a2=2bccosA
∴S=
bccosA=
bcsinA．
∴
cosA=sinA．
即tanA=
∵A∈(0，
)∴A=
．
（2）由正弦定理，
=
=
可得b=4sinB，c=4sinC
周长l=a+b+c=2
+4sinB+4sinC=2
+4sinB+4sin(
-B)
=2
+4sinB+4sin
cosB-4sinBcos
=2
+6sinB+2
cosB
=4
sin(B+
)+2
∵△ABC为锐角三角形
∴0＜B＜
，0＜C＜
∵0＜C=
-B＜
∴
＜B＜
∴
＜B+
＜
∴sin(B+
)∈(
，1]
即l∈(6+2
，6
]
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| 4 |
又∵b2+c2-a2=2bccosA
∴S=
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 3 |
即tanA=
| 3 |
∵A∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）由正弦定理，
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
周长l=a+b+c=2
| 3 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=2
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=2
| 3 |
| 3 |
=4
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∵△ABC为锐角三角形
∴0＜B＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∵0＜C=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴sin(B+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
即l∈(6+2
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，辅助角公式的应用，正弦函数的性质的灵活应用是解决本题的关键之一．
练习册系列答案
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，△ABC的面积S=
（b2+c2-a2）．
，△ABC的面积S=
（b2+c2-a2）．