Question

12．设f（x）=|x|+|1+$\frac{1}{x}$|．
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）已知正数a，b，c，当x＞0时，f（x）≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$恒成立，求证：a+b+c≥3．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）显然，x≠0，
∴当x≤-1时，得$-x+1+\frac{1}{x}≤1$，…（1分）
即-x²+1≥0，即x=-1；…（2分）
当-1＜x＜0时，得$-x-1-\frac{1}{x}≤1$，即（x+1）²≤0，x无解；…（3分）
当x＞0时，得$x+1+\frac{1}{x}≤1$，即x²+1≤0，x无解；…（4分）
综上，不等式f（x）≤1的解集是{x|x=-1}…（5分）
（2）∵x＞0，∴f（x）=|x|+|1+$\frac{1}{x}$|=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3，…6
当且仅当x=1时等号成立…（7分）
∵当x＞0时，f（x）≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$恒成立，∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≤3$…（8分）
∴$3（a+b+c）≥（a+b+c）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）≥{（\sqrt{a•\frac{1}{a}}+\sqrt{b•\frac{1}{b}}+\sqrt{c•\frac{1}{c}}）^2}=9$，
∴a+b+c≥3…（10分）

点评 本题考察了解绝对值不等式问题，考察基本不等式的性质，是一道基础题．