Question

2．已知命题p：函数f（x）=x²-2mx+4在[2，+∞）上单调递增；命题q：关于x的不等式mx²+2（m-2）x+1＞0对任意x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （1，4）
• B． [-2，4]
• C． （-∞，1]∪（2，4）
• D． （-∞，1）∪（2，4）

Answer 1

分析 根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围求并集即可．

解答 解：若命题p为真，∵函数f（x）的对称轴为x=m，∴m≤2；
若命题q为真，当m=0时原不等式为-4x+1＞0，该不等式的解集不为R，即这种情况不存在；
当m≠0时，则有$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4（m-2）^{2}-4m＜0}\end{array}\right.$，
解得1＜m＜4；
又∵P∨q为真，P∧q为假，∴P与q一真一假；
若P真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{m≤1或m≥4}\end{array}\right.$，
解得m≤1；
若P假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{1＜m＜4}\end{array}\right.$，解得2＜m＜4；
综上所述，m的取值范围是m≤1或2＜m＜4．
故选：C．

点评 本题主要考查了复合函数真假的判断，二次函数图象和性质，一元二次不等式的解法，是基础题．