题目内容
已知真命题:“函数
的图像关于点
成中心对称图形”的充要条件为“函数
是奇函数”.
（Ⅰ）将函数
的图像向左平移
个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数
图像对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数
图像对称中心的坐标；
（Ⅲ）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数
和
，使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).
（Ⅰ）
,
;（Ⅱ）
;（Ⅲ）假命题, 修改后的真命题: “函数的图像关于直线
成轴对称图像”的充要条件是“函数
是偶函数”.
解析试题分析：（Ⅰ）将
向左平移个单位后得到的解析式是
，然后向上平移2个单位得到
，再根据题设的真命题得到图像对称中心的坐标是；（Ⅱ）设
则
的定义域关于原点对称，即
是一个关于原点对称的区间，则
，此时
，再根据
求得
即可得
图像对称中心的坐标是；（Ⅲ）举出
这个反例即可说明此命题是假命题.
试题解析：（Ⅰ）平移后图像对应的函数解析式为，
∵
，
，∴
是奇函数，
又由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是.
（Ⅱ）设的对称中心为,由题设知函数
是奇函数.
设则
，
由不等式
的解集关于原点对称,得.
此时.
任取
，由，得，
所以函数图像对称中心的坐标是.
（Ⅲ）此命题是假命题.
举反例说明:函数的图像关于直线
成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即
总不是偶函数.
修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.
考点：1.三角函数的平移；2.求函数的对称中心.
练习册系列答案
相关题目
,
,函数
的解析式；
中,角
的对边为
,若
,
,
,求a的值．
＝
.
，求
的值。
，求下列各式的值：
；
.
时，求函数
的值域；
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，再将
的图象，求证：直线
与
，且
，求
的值；
为第二象限角，且
，求
的值.
，求
的值．
，其中π<α<2π.
；
的值（其中
）．