Question

20．已知函数f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）写出函数f（x）的值域；
（3）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（4）判断f（x）的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数，可得函数f（x）的定义域；
（2）f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，即可写出函数f（x）的值域；
（3）函数f（x）是奇函数，利用奇函数的定义加以证明；
（4）f（x）是R上的增函数，利用导数的方法加以证明．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R；
（2）f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$∈（-1，1），∴函数f（x）的值域是（-1，1）；
（3）函数f（x）是奇函数，证明如下：
函数f（x）的定义域为R，f（-x）=$\frac{{3}^{-x}-1}{{3}^{-x}+1}$=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$=-f（x），∴函数f（x）是奇函数；
（4）f（x）是R上的增函数，证明如下：
∵f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，∴f′（x）=$\frac{2ln3•{3}^{x}}{（{3}^{x}+1）^{2}}$＞0，
∴f（x）是R上的增函数．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．