Question

3．某市春节7家超市的广告费支出x（万元）和销售额y（万元）数据如下，

超市	A	B	C	D	E	F	G
广告费支出x	1	2	4	6	11	13	19
销售额y	19	32	40	44	52	53	54

（1）请根据上表提供的数据．用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$
（2）用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：$\widehat{y}$=-0.17x²+5x+20．
经计算二次函数回归模型和线性回归模型的R²分别约为0.93和0.75，请用R²说明选择哪个回归模型更合适．并用此模型预测A超市广告费支出为3万元时的销售额，
参考数据及公式：$\overline{x}$=8，$\overline{y}$=42.$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=2794，$\sum_{i=1}^{7}$x${\;}_{i}^{2}$=708，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$x．

Answer 1

分析 （1）由题意求出回归系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，写出线性回归方程；
（2）根据线性回归模型的相关指数判断用二次函数回归模型更合适，
计算x=3时$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）由题意，n=7，$\overline{x}$=8，$\overline{y}$=42，$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=2794，$\sum_{i=1}^{7}$x${\;}_{i}^{2}$=708，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{2794-7×8×42}{708-7{×8}^{2}}$=1.7，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=42-1.7×8=28.4，
∴y关于x的线性回归方程是$\widehat{y}$=1.7x+28.4；
（2）∵线性回归模型的R²：0.75＜0.93，
∴用二次函数回归模型拟合更合适，
当x=3时，得$\widehat{y}$=-0.17×3²+5×3+20=33.47，
预测A超市广告费支出为3万元时销售额为33.47万元．

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．