Question

14．已知函数f（x）=x²-2ax+5，（a∈R）．
（1）求函数f（x）在[-2，2]上的最小值g（a）的表达式
（2）若函数f（x）在区间（-∞，2]上是单调递减的，且对于任意的x₁、x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-
    f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分对称轴和闭区间的三种位置关系：轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间来讨论即可；
（2）由条件利用二次函数的性质可得a≥2．故只要f（1）-f（a）≤4即可，即（a-1）²≤4，求得a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+5-a²，对称轴是x=a，
当a＜-2时，f（x）=x²-2ax+5在[-2，2]上是增函数，
故最小值g（a）=f（-2）=9+4a；
当a＞2时，f（x）=x²-2ax+5在[-2，2]上是减函数，
故最小值g（a）=f（2）=9-4a；
当-2≤a≤2时，f（x）=x²-2ax+5在[-2，2]的最小值g（a）=f（a）=5-a²，
综上得，二次函数f（x）=x²-2ax+5在[-2，2]上的最小值
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{9+4a，a＜-2}\\{5-{a}^{2}，-2≤a≤2}\\{9-4a，a＞2}\end{array}\right.$．
（2）由于函数f（x）=x²-2ax+5的图象的对称轴为x=a，
函数f（x）=x²-2ax+5在区间（-∞，2]上单调递减，即有a≥2．
故在区间∈[1，a+1]上，1离对称轴x=a最远，
故要使对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
只要f（1）-f（a）≤4即可，即（a-1）²≤4，求得-1≤a≤3．
再结合 a≥2，可得2≤a≤3，
则a的取值范围是[2，3]．

点评 本题的实质是求二次函数的最值问题，关于解析式中带参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置，同时考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．