Question

2．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=120°，AB=AC=1，AA₁=2，若棱AA₁在正视图的投影面α内，且AB与投影面α所成角为为θ（30°≤θ≤60°），设正视图的面积为m，侧视图的面积为n，当θ变化时，mn的值不可能是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据已知条件，求出AB与投影面α所成角为为θ时，mn的取值范围，进而分析四个答案哪一个不在该范围内，可得答案．

解答 解：AB与投影面α所成角为为θ时，平面ABC如下图所示：

∵∠BAC=120°，AB=AC=1，AA₁=2，∠BAD=θ，
∴BC=$\sqrt{3}$，∠BFD=θ-30°，
∴BD=sinθ，DE=$\sqrt{3}$cos（θ-30°），
故m=2$\sqrt{3}$cos（θ-30°），n=$\sqrt{3}$sinθ，
∴mn=6sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=3$\sqrt{3}$sinθcosθ+3sin²θ=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin2θ+$\frac{3}{2}$（1-cos2θ）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin2θ-$\frac{3}{2}$cos2θ+$\frac{3}{2}$=3sin（2θ-30°）+$\frac{3}{2}$，
∵30°≤θ≤60°
∴30°≤2θ-30°≤90°，
故3≤3sin（2θ-30°）+$\frac{3}{2}$≤$\frac{9}{2}$，
∵$\sqrt{3}$∈[3，$\frac{9}{2}$]，
故mn的值不可能是$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是三视图，三角恒等变换，正弦型函数的图象和性质，是三角函数与立体几何的综合应用，难度中档．