Question

6．如图：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AC=2，AC⊥BC．
（1）求多面体ABC-A₁C₁的体积；
（2）异面直线A₁B与AC₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）多面体ABC-A₁C₁的体积V=${V}_{{C}_{1}-ABC}+{V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出结果．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁B与AC₁所成角的大小．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AC=2，AC⊥BC，
∴CC₁⊥平面ABC，BC⊥平面AA₁C₁，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×AC×BC$=$\frac{1}{2}×2×2=2$，
${S}_{△A{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×A{A}_{1}×{A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
CC₁=2，BC=2，
∴多面体ABC-A₁C₁的体积：
V=${V}_{{C}_{1}-ABC}+{V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{1}{3}×C{C}_{1}×{S}_{△ABC}$+$\frac{1}{3}×BC×{S}_{△A{A}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{1}{3}×2×2+\frac{1}{3}×2×2$
=$\frac{8}{3}$．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，2），B（0，2，0），A（2，0，0），C₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，0，2），
设异面直线A₁B与AC₁所成角的大小为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{C}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$|=0，
∴异面直线A₁B与AC₁所成角的大小为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查多面体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．