Question

已知a₁=1，a_n+1=a_n+2n-1．求a_n与s_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）（第一个n是次方）

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：首先由给出的数列递推式结合首项利用累加法求出数列{a_n}的通项公式；分n为偶数和奇数求解S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）．

解答： 解：由a_n+1=a_n+2n-1，得
a₂=a₁+2×1-1，
a₃=a₂+2×2-1，
a₄=a₃+2×3-1，
…
a_n=a_n-1+2n-1（n≥2）．
累加得：a_n=a₁+2（1+2+…+n）-n
=1+2×

n(n+1)

2

-n=n2+1（n≥2）．
验证n=1时上式不成立，
∴an=

1，n=1 n2+1，n≥2

；
S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）．
当n为偶数时，S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）
=（3-1）+（7-5）+…+[（2n-1）-（2n-3）]=2×

n

2

=n；
当n为奇数时，S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）
=（3-1）+（7-5）+…+[（2n-3）-（2n-5）]-（2n-1）
=2×

n-1

2

-(2n-1)=-n．
所以，S_n=

n，n为偶数 -n，n为奇数

．

点评：本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了数列和的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．