Question

（本小题满分14分）已知函数（是常数）．

（1）设，、是函数的极值点，试证明曲线关于点对称；

（2）是否存在常数，使得，恒成立？若存在，求常数的值或取值范围；若不存在，请说明理由．

（注：，对于曲线上任意一点，若点关于的对称点为，则在曲线上．）

Answer 1

【解析】

试题分析：（1）首先由题意求得，由中点坐标公式得到曲线上任意一点关于对称的点为，经过计算，点在曲线上，所以，曲线关于点对称

（2）由题即，，时，不等式恒成立；

时，不等式等价于，构造函数，

求导讨论，在的单调性，进而求出在上这两个函数的最值，即为的取值范围。

试题解析：（1），

解得，，

即

曲线上任意一点关于对称的点为

直接计算知，，点在曲线上，所以，曲线关于点对称

（2）即，

时，不等式恒成立；

时，不等式等价于

作，，，，解、得、

	－	＋	0	－
	↘	↗	极大值	↘
	＋	－	－	－
	↗	↘		↘

，，在的最大值为；，，在的最小值为

综上所述，的取值范围为

考点：曲线关于点对称问题，利用导数研究函数的性质；