Question

已知抛物线M：y²=4x与圆N：（x-1）²+y²=r²（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交抛物线M于A，B两点，交圆N于C，D两点，若满足|AC|=|BD|的直线l恰有三条，则r的范围是

 

．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分l⊥x轴与l不与x轴垂直两种情况讨论，当l不与x轴垂直时，设直线l：x=my+1，与抛物线方程y²=4x联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），结合题意，可求得4

m2+1

=

2r

m2+1

，继而可得r＞2，从而可得答案．

解答： 解：①当l⊥x轴时，过x=1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．
②当l不与x轴垂直时，设直线l：x=my+1，（1）
代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
△=16（m²+1），
把（1）代入：（x-1）²+y²=r²得y²=

r2

m2+1

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵|AC|=|BD|，
∴y₁-y₃=y₂-y₄，y₁-y₂=y₃-y₄，
∴4

m2+1

=

2r

m2+1

，
即r=2（m²+1）＞2，
即r＞2时，l仅有三条．
故答案为：（2，+∞）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查等价转化思想与分类讨论思想，求得r=2（m²+1）是关键，考查综合运算能力，属于难题．