题目内容
四棱锥P—ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，侧棱
，
，M、N两点分别在侧棱PB、PD上，
.
(1)求证：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC与平面MNC的夹角的余弦值．
，，M、N两点分别在侧棱PB、PD上，.(1)求证：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC与平面MNC的夹角的余弦值．
（1）证明过程详见解析；（2）
.
.试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面垂直、二面角等数学知识，考查学生用向量法解决立体几何的能力，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问，连结AC、BD交于O，则在三角形APC中可知
，在三角形PBO中，利用三边长，可知
，利用线面垂直的判定得
平面ABCD，所以建立空间直角坐标系，得到各个点的坐标，得到
和平面MNC的法向量
的坐标，可求出//
，所以
平面MNC；第二问，利用平面NPC的法向量垂直于
和
得到法向量的坐标，利用夹角公式得到夹角的余弦值.试题解析：设菱形对角线交于点
，易知且
又
.由勾股定理知，又
平面
3分建立如图空间直角坐标系，
，
，
，
， 
5分
⑴显然，
，平面
的法向量
，由∥，知
平面
8分 ⑵设面
的法向量为
由
取
，得
10分
所以平面
与平面的夹角的余弦值为
. 12分
练习册系列答案
相关题目
中，底面
为平行四边形，
，
，
⊥底面
平面
； 
为
，求
与平面
所成角的正弦值．
中，底面
是矩形，
平面
，
，
，
是
的中点，
是线段
上的点．
是
的中点时，求证：
平面
；
的大小为
，试确定
点的位置．
中，
，
D、E分别是
上的点，且
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．
平面
；
，求
与平面
所成角的余弦值；
点在何处时，
的长度最小，并求出最小值．
平面
,
是以
为斜边的等腰直角三角形,
分别为
,
,
,
.
是
的中点,证明:
平面
;
内存在一点
,使
平面
,
的距离.
，
，点
在
轴上，且
，则点
, 则
两点间距离的最小值是（ ）
)平行,则λ=( )
