Question

下列说法：
①函数y=（

1

2

）^x的反函数是y=-log₂x；
②若函数f（x）满足f（x+1）=2x，则f（x）=2x+2；
③若函数f（x）的定义域是[-1，3]，则函数f（2x-1）的定义域是[0，2]；
④不等式log₂（x+1）＞log₂（2x-3）的解集是（-∞，4），
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由反函数的求法即可判断①；由换元法即可求出f（x）的表达式，即可判断②；
由函数的定义域的定义，即可求出所求的定义域，即可判断③；
运用对数函数的性质，得到x+1＞2x-3＞0，解出即可判断④．

解答： 解：对于①，函数y=（

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2

）^x的反函数为y=log

1

2

x，即为y=-log₂x，故①对；
对于②，若函数f（x）满足f（x+1）=2x，则f（x）=2x-2，故②错；
对于③，令2x-1=t，则-1≤t≤3，解得0≤x≤2，故③对；
对于④，由x+1＞2x-3＞0，解得

3

2

＜x＜4，故④错．
故答案为：①③

点评：本题考查函数的反函数的求法、函数的解析式的求法和函数的定义域的求法，考查对数不等式的解法，属于基础题和易错题．