Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝(a为长半轴，c为半焦距)上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；

(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）(x－1)2＋(y－2)2＝5（3）

【解析】(1)【解析】
由点M在准线上，得＝2，故＝2，∴c＝1，从而a＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.

(2)【解析】
以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋＝＋1，其圆心为，半径r＝，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝，所以＝，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.

(3)证明：设N(x0，y0)，则＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)．∵⊥，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2.

∵⊥，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴＋＝2x0＋ty0＝2，∴||＝＝为定值．