题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且＋5＝0.

(1)求椭圆E的离心率； (2)已知点D(1，0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

 

（1）（2）－

【解析】(1)∵＋5＝0，∴＝5 .∴a＋c＝5(a－c)，化简得2a＝3c，故椭圆E的离心率为.

(2)存在满足条件的常数λ，λ＝－.点D(1，0)为线段OF2的中点，∴c＝2，从而a＝3，b＝，左焦点F1(－2，0)，椭圆E的方程为＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝y＋1，代入椭圆方程＝1，整理得，y2＋y－4＝0.∵y1＋y3＝，∴y3＝.从而x3＝，故点P .同理，点Q .∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．从而k2＝，故k1－＝0，从而存在满足条件的常数λ＝－

 

练习册系列答案
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