Question

6．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=8x有一个公共的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线渐近线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，若Q为双曲线左支的点，则三角形FPQ面积最小值是4$\sqrt{6}$-$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，可得双曲线的焦点，由抛物线的定义可得P的坐标，运用双曲线的定义可得a=1，求得b，进而得到双曲线的方程；求得直线PF的方程，设出与直线PF平行，且与双曲线相切的直线，求得两直线的距离，运用三角形的面积公式可得最小值．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点F为（2，0），
由题意可得c=2，设左焦点F'（-2，0），
抛物线的准线方程为x=-2，
由抛物线的定义，可得|PF|=x_P+2=5，
可设P（3，2$\sqrt{6}$），
由双曲线的定义可得
2a=|PF'|-|PF|=$\sqrt{25+24}$-$\sqrt{1+24}$=2，
即a=1，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
直线PF的方程为y=2$\sqrt{6}$（x-2），
设与直线PF平行，且与双曲线相切的直线方程为
y=2$\sqrt{6}$x+t，
代入双曲线方程，可得21x²+4$\sqrt{6}$tx+t²+3=0，
由△=96t²-4×21（t²+3）=0，
解得t=±$\sqrt{21}$，
可取切线的方程为y=2$\sqrt{6}$x-$\sqrt{21}$，
可得切线与直线PF的距离为d=$\frac{|4\sqrt{6}-\sqrt{21}|}{\sqrt{1+24}}$=$\frac{4\sqrt{6}-\sqrt{21}}{5}$，
即有△PFQ的面积的最小值为$\frac{1}{2}$•d•|PF|=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{6}-\sqrt{21}}{5}$•5=4$\sqrt{6}$-$\sqrt{21}$．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，4$\sqrt{6}$-$\sqrt{21}$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和准线，以及定义，考查三角形的面积的最值，注意运用直线和双曲线相切，由点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．