Question

关于x的不等式

kx2-x+k

x2-x+1

＞0的解集为空集，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由于x²-x+1＞0对于任意实数x恒成立，可得不等式

kx2-x+k

x2-x+1

＞0的解集为空集?kx²-x+k＞0的解集为空集．对k分类讨论：当k=0时，不等式化为-x＞0，舍去；当k≠0时，kx²-x+k＞0的解集为空集?

k＜0 △=1-4k2＜0

，解得即可．

解答： 解：∵x²-x+1＞0对于任意实数x恒成立，
∴不等式

kx2-x+k

x2-x+1

＞0的解集为空集?kx²-x+k＞0的解集为空集．
当k=0时，不等式化为-x＞0，其解集不为空集，舍去；
当k≠0时，kx²-x+k＞0的解集为空集?

k＜0 △=1-4k2＜0

，解得k＜-

1

2

．
综上可得：实数k的取值范围是(-∞，-

1

2

)．

点评：本题考查了分类讨论的思想方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．