Question

已知函数f（x）=b+（1-2a）x+x²-x³．
（I）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（II）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=4x-1，求函数f（x）在定义域上的极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（I）求导f′（x）=（1-2a）+2x-3x²，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；
（II）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=4x-1知f（1）=4-1=3=b+（1-2a）+1-1，f′（1）=（1-2a）+2-3=4；从而解出a，b；从而求极小值．

解答： 解：（I）f′（x）=（1-2a）+2x-3x²，
①当△=4+4×3（1-2a）≤0；
即a≥

2

3

时，f′（x）≤0；
故f（x）在其定义域上是减函数，
②当△=4+4×3（1-2a）＞0，即a＜

2

3

时；
当x∈（-∞，

1- 4-6a

3

），（

1+ 4-6a

3

，+∞）时，f′（x）＜0；
当x∈（

1- 4-6a

3

，

1+ 4-6a

3

）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，

1- 4-6a

3

），（

1+ 4-6a

3

，+∞）上为减函数，
在（

1- 4-6a

3

，

1+ 4-6a

3

）为增函数；
（II）∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=4x-1，
∴f（1）=4-1=3=b+（1-2a）+1-1；
f′（1）=（1-2a）+2-3=4，
解得，a=-2，b=-2；
故f（x）=-x³+x²+5x-2，f′（x）=-3（x-

5

3

）（x+1）；
则f（x）在（-∞，-1），（

5

3

，+∞）上为减函数，在（-1，

5

3

）为增函数；
故函数f（x）在x=-1处有极小值f（-1）=-5．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．