Question

已知θ∈(

π

2

，π)，cos

θ

2

=a，则

1+cosθ 2

+

1-sinθ

=

1-a2

．

Answer 1

分析：根据二倍角的三角函数公式，结合“1的代换”化简得原式=|cos

θ

2

|+|sin

θ

2

-cos 

θ

2

|．由θ的范围化简得原式等于sin

θ

2

，最后利用同角三角函数的关系，即可算出所求的值．

解答：解：∵cosθ=2cos2

θ

2

-1
∴1+cosθ=2cos2

θ

2

，可得

1+cosθ 2

=

cos2 θ 2

=|cos

θ

2

|
又∵sinθ=2sin

θ

2

cos 

θ

2

，1=sin2

θ

2

+cos2

θ

2

∴

1-sinθ

=

sin2 θ 2 +cos2 θ 2 -2sin θ 2 cos  θ 2

=

(sin θ 2 -cos  θ 2 )2

=|sin

θ

2

-cos 

θ

2

|
∵θ∈(

π

2

，π)，可得cos

θ

2

＞0且sin

θ

2

＞cos 

θ

2

∴

1+cosθ 2

+

1-sinθ

=cos

θ

2

+（sin

θ

2

-cos 

θ

2

）=sin

θ

2

由同角三角函数的关系，可得sin

θ

2

=

1-cos2 θ 2

=

1-a2

故答案为：

1-a2

点评：本题给出θ的范围和

θ

2

的余弦值，求关于θ的三角函数式的值．着重考查了三角函数恒等变换的公式、同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．