Question

如图，在底面为棱形的四棱锥P-ABCD在那个，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）直接利用勾股定理的逆定理求得线线垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，求得结论．
（2）先做出二面角的平面角，再利用相关的比例问题求得线段长，最后求得结果．

解答： （1）证明：四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠ABC=60°AC=1，
所以△ABC为等边三角形．
解得AB=BC=1
PA=1，PB=PD=

2

所以：PA²+AB²=PB²，PA²+AD²=PD²
所以：PA⊥AB，PA⊥AD
即：PA⊥平面ABCD
（2）解：连接AC，BD交与点0，过点E做EF⊥AD于F，在平面ABCD中做FH⊥AC
连接EH，所以∠EHF即为二面角E-AC-D的平面角．
所以利用：PE：ED=2：1．

EF

AP

=

1

3

解得：EF=

1

3

同理解得：FH=

3

3

则：在直角三角形EFH中，tan∠EHF=

3

3

所以：∠EHF=

π

6

即：sin∠EHF=

1

2

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，勾股定理逆定理的应用，平面角二面角的做法，相关的比例问题，属于基础题型．