Question

【题目】如果存在常数（），对于任意，都有成立，那么称该函数为“函数”.

（1）分别判断函数，是否为“函数”，若不是，说明理由；

（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；

（3）记所有定义在上的单调函数组成的集合为，所有函数组成的集合为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）是“函数”，不是“函数”；详见解析（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据函数的定义逐个检验可得；

（2）根据题意可得恒成立，结合恒成立问题可求；

（3）结合单调函数的定义可证单调函数均为函数，通过特殊函数可得函数不一定是单调函数，所以可证结论.

（1）因为，所以，所以，故是“函数”； 因为不恒大于0，所以不是“函数”.

（2）因为函数是“函数”，

所以恒成立，

当时，显然成立；当时，需要，解之得，

综上可得.

（3）证明：若为单调递增函数，则时，都有成立；

若为单调递减函数，则时，都有成立；所以单调函数一定是函数，即.

反之，函数不一定是单调函数，比如，取整函数是函数，但是它不是单调函数.综上可得.