Question

【题目】如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长均为2，为棱的中点 .

（1）证明：平面平面；

（2）是否存在平行于的动直线，分别与棱交于点，使得平面与平面所成的锐二面角为，若存在，求出点到直线的距离；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）设，根据计算以及等腰三角形性质得,根据线面垂直判定定理得平面，再根据面面垂直判定定理得结果，（2）建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面与平面各自法向量，根据向量数量积以及法向量夹角与二面角关系列方程，解得坐标，即得结果.

(1)设，因为直三棱柱的底面边长和侧棱长均为2，为棱的中点，所以，因此,

因为平面，，所以平面，

因为平面所以平面平面；

（2）以A为坐标原点，AB所在直线，垂直于AB所在直线，AA1所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，

其中，即

设平面与平面法向量分别为

则由得，令，

由得，令，

因为平面与平面所成的锐二面角为，

所以，

即

因此点到直线的距离为.