Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当，时，证明：；

（Ⅱ）当时，讨论函数的极值点的个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，只要证，记，求得，分和讨论即可得到函数的单调性，进而得到结论；

（Ⅱ）由 ，记，，（1）当时，得到存在唯一，且当时，；当，，再分和和三种情形讨论，得到地产是有一个极大值点 和一个极小值点，（2）当时，显然在单调递减；在上单调递增，综上所述即可得到结论.

试题解析：

（Ⅰ）依题意，因为，只要证，

记，，则.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以，即，原不等式成立.

（Ⅱ）

，

记，.

（1）当时，，在上单调递增，，，

所以存在唯一，，且当时，；当，，

①若，即时，对任意，，此时在上单调递增，无极值点.

②若，即时，此时当或时，.即在，上单调递增；当时，，即在上单调递减.

此时有一个极大值点和一个极小值点-1.

③若，即时，此时当或时，.即在，上单调递增；当时，，即在上单调递减.

此时有一个极大值点-1和一个极小值点.

（2）当时，，所以，显然在单调递减；在上单调递增.

综上可得：①当或时，有两个极值点；

②当时，无极值点；

③当时，有一个极值点.