Question

16．函数f（x）=log₃（x²+2x-8）的定义域为A，函数g（x）=x²+（m+1）x+m．
（1）若m=-4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；
（2）若存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式g（x）≤-1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；
（2）若存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式g（x）≤-1成立，即存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式-m≥$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$成立，所以-m≥（$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$）_min，解得实数m的取值范围．

解答 解：（1）由x²+2x-8＞0，解得：x∈（-∞，-4）∪（2，+∞），
故则函数f（x）=log₃（x²+2x-8）的定义域A=（-∞，-4）∪（2，+∞），…（2分）
若m=-4，g（x）=x²-3x-4，由x²-3x-4≤0，解得：x∈[-1，4]，则B=[-1，4]…（4分）
所以A∩B=（2，4]；                                                       …（6分）
（2）存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式x²+（m+1）x+m≤-1成立，
即存在$x∈[0，\frac{1}{2}]$使得不等式-m≥$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$成立，所以-m≥（$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$）_min      …（10分）
因为$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$-1≥1，
当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号
所以-m≥1，
解得：m≤-1．                           …（14分）

点评 本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．