Question

4．已知函数f（x）=2^x+m2^1-x．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的图象关于点A（a，0）对称，若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由．
注：点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）为奇函数，f（0）=0，解得实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，
解法一：f（x₁）-f（x₂）＜0对任意满足1＜x₁＜x₂恒成立，解得实数m的取值范围；
解法二：f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，解得实数m的取值范围；
（3）假设存在满足条件的实数a，则有有f（x₁）+f（2a-x₁）=0恒成立，则有：2^2a+2m=0，进而可得满足条件的答案．

解答 解：（1）函数的定义域为实数集R
因为函数为奇函数
故f（-x）=-f（x），
所以f（0）=1+2m=0，即m=-$\frac{1}{2}$，
此时f（x）=2^x-2^-x．
函数为奇函数满足题意
故m=-$\frac{1}{2}$；  …（2分）
（2）解法一：
任取设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}+{m2}^{{1-x}_{1}}$ ）-（${2}^{{x}_{2}}+m{2}^{{1-x}_{2}}$ ）…（4分）
=（${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}-{2m}^{\;}}{{2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}}$）＜0对任意满足1＜x₁＜x₂恒成立   …（6分）
因为${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，且${2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}＞4$，
故2m≤4，即m≤2；…（8分）
解法二：若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，
则f′（x）=ln2•2^x-ln2•m2^1-x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，…（4分）
即m≤2^2x-1在区间（1，+∞）上恒成立，…（6分）
令y=2^2x-1，则在区间（1，+∞）上y＞2^2-1=2恒成立，
故m≤2；  …（8分）
（3）假设存在满足条件的实数a
在函数f（x）图象上任取一点M（x₁，y₁），关于A（a，0）对称点为N（x₂，y₂）
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=a，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=0，
即x₂=2a-x₁，y₂=-y₁，
即有f（x₁）+f（2a-x₁）=0恒成立                …（10分）
（注：没有推导过程的，只有结论的不给分）
即（${2}^{{x}_{1}}+{m2}^{{1-x}_{1}}$ ）+${2}^{{2a-x}_{1}}+{m2}^{{1-（2a-x}_{1}）}$=0，
化简得：（2^2a+2m）（$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{2a}}$+${2}^{-{x}_{1}}$）=0        …（12分）
∵$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{2a}}$+${2}^{-{x}_{1}}$＞0恒成立，
故有：2^2a+2m=0，
当m≥0时，方程无解，故不存在
当m＜0时，a=$\frac{1}{2}{log}_{2}（-2m）$，…（14分）
综上所述：①当m≥0时，不存在实数a，使得函数f（x）图象关于点A（a，0）对称
②当m＜0时，存在实数a=$\frac{1}{2}{log}_{2}（-2m）$，使得得函数f（x）图象关于点A（a，0）对称．…（16分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性，函数的恒成立，难度较大．