Question

6．已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y-2=0相切于点P（1，1）．
（Ⅰ）求圆的方程；
（II）直线kx-y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点），求实数k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心与半径，即可求圆的方程；
（II）直线与圆联立：$\left\{\begin{array}{l}kx-y+3=0\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+6kx+7=0，利用韦达定理，M代入圆方程：${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=2$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设圆的方程为（x-a）²+（y-4a）²=r²
因为直线相切，圆心到直线的距离$d=\frac{|a+4a-2|}{{\sqrt{2}}}=r$，且圆心与切点连线与直线l垂直
$\frac{4a-1}{a-1}（-1）=-1$可得a=0，r=$\sqrt{2}$，所以圆的方程为：x²+y²=2…（6分）
（II）直线与圆联立：$\left\{\begin{array}{l}kx-y+3=0\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+6kx+7=0，
△=8k²-28＞0，解得$k＞\frac{{\sqrt{7}}}{2}或k＜-\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），${x_1}+{x_2}=-\frac{6k}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=\frac{6}{{1+{k^2}}}$
M代入圆方程：${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=2$，求得k=$±\sqrt{17}$…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．