Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，设AE=x（0＜x＜2）．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥D₁E；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（Ⅲ）x为何值时，二面角D₁-EC=D=的大小为45°．

Answer 1

分析：法一：
（Ⅰ）由AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D?平面AA₁DD₁，知A₁D⊥AE，再由AA₁DD₁为正方形，利用直线与平面垂直的性质，能够证明A₁D⊥D₁E．
（Ⅱ） 设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD1=

5

，AD1=

2

，先求出△AD₁C和△ACE的面积，再求出三棱锥D₁-AEC的体积，由此能够求出点E到面ACD₁的距离．
（Ⅲ） 过D作DH⊥CE于H，连D₁H，则D₁H⊥CE，则∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-EC-D的大小为45°时x的取值．
法二：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A （1，0，0），C（0，2，0），利用向量法进行求解．

解答：（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ） 证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，
A₁D?平面AA₁DD₁，
∴A₁D⊥AE，…（1分）
AA₁DD₁为正方形，
∴A₁D⊥AD₁，…（2分）
又A₁D∩AE=A，∴A₁D⊥平面AD₁E，…（3分）
∴A₁D⊥D₁E．…（4分）
（Ⅱ） 设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD1=

5

，AD1=

2

，
故S△AD1C=

1

2

×

2

×

5- 1 2

=

3

2

，而S△ACE=

1

2

×AE×BC=

1

2

，…（6分）
∴VD1-AEC=

1

3

S△AEC×DD1=

1

3

S△AD1C×h，…（8分）
即 

1

2

×1=

3

2

×h，从而h=

1

3

，所以点E到面ACD₁的距离为

1

3

．…（9分）
（Ⅲ） 过D作DH⊥CE于H，连D₁H，则D₁H⊥CE，
∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角，∴∠DHD₁=45⁰．…（11分）
∵D₁D=1，∴DH=1，又DC=2，∴∠DCH=30°，…（12分）
∴∠ECB=60°，又BC=1，在Rt△EBC中，得EB=

3

，…（13分）
∴AE=2-

3

，∴x=2-

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为45⁰．…（14分）
解法二：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A （1，0，0），C（0，2，0），…（2分）
（Ⅰ）

DA1

=(1，0，1)，

D1E

=(1，x，-1)，
因为

DA1

•

D1A

=（1，0，1）×（1，x，-1）=0，所以

DA1

⊥

D1E

，…（6分）
（Ⅱ）由E为AB的中点，有E（1，1，0），从而

D1E

=(1，1，-1)，

AC

=(-1，2，0)，

AD1

=(-1，0，1)，设平面ACD₁的法向量为

n

=（a，b，c），则

n • AC =0 n • AD1 =0

，
也即

-a+2b=0 -a+c=0

，得

a=2b a=c

，从而

n

=（2，1，2），…（8分）
所以点E到平面ACD₁的距离为h=

| D1E × n |

| n |

=

2+1-2

3

=

1

3

．…（10分）
（Ⅲ） 显然

DD1

是平面AECD的一个法向量．设平面D₁EC的法向量为

n

=（a，b，c），
∴

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=(0，2，-1)，

DD1

=(0，0，1)，
由

n • D1C =0 n • CE =0

⇒

2b-c=0 a+b(x-2)=0

，令b=1，∴c=2，a=2-x，
∴

n

=（2-x，1，2）…（12分）
依题意cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n |×| DD1 |

=

2

2

⇒

2

(x-2)2+5

=

2

2

．
∴x1=2+

3

（不合题意，舍去），x2=2-

3

．
∴x=2-

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为45⁰．…（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明、点到平面的距离、求二面角的大小．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和向量法的合理运用．